تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی

تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی

1.1.   اندازه كمان بر حسب رادیان، دایره مثلثاتی

دانش‌آموزان اولین چیزی را كه در مطالعه توابع مثلثاتی باید بخاطر داشته باشند این است كه شناسه‌های (متغیرهای) این توابع عبارت از اعداد حقیقی هستند. بررسی عباراتی نظیر sin1، cos15، (نه عبارات sin1⁰، cos15⁰،) ، cos (sin1) گاهی اوقات به نظر دانشجویان دوره‌های پیشدانگاهی مشكل می‌رسد.

با ملاحظه توابع كمانی مفهوم تابع مثلثاتی نیز تعمیم داده می‌شود. در این بررسی دانش‌آموزان با كمانی‌هایی مواجه خواهند شد كه اندازه آن‌ها ممكن است بر حسب هر عددی از درجات هم منفی و هم مثبت بیان شود. مرحله اساسی بعدی عبارت از این است كه اندازه درجه (اندازه شصت قسمتی) به اندازه رادیان كه اندازه‌ای معمولی‌تر است تبدیل می‌شود. در حقیقت تقسیم یك دور دایره به 360 قسمت (درجه) یك روش سنتی است. اندازه زاویه‌ها برحسب رادیان بر اندازه طول كمان‌های دایره وابسته است. در اینجا واحد اندازه‌گیری یك رادیان است كه عبارت از اندازه یك زاویه مركزی است. این زاویه به كمانی نگاه می‌كند كه طول آن برابر شعاع همان دایره است. بدین ترتیب اندازه یك زاویه بر حسب رادیان عبارت از نسبت طول كمان مقابل به زاویه بر شعاع دایره‌ای است كه زاویه مطروحه در آن یك زاویه مركزی است. اندازه زاویه برحسب رادیان را اندازه دوار زاویه نیز می‌گویند. از آنجا كه محیط دایره‌ای به شعاع واحد برابر  است از اینرو طول كمان  برابر  رادیان خواهد بود. در نتیجه  برابر  رادیان خواهد شد.

مثال1-1-1- كمانی به اندازه یك رادیان برابر چند درجه است؟

جواب: تناسب زیر را می‌نویسیم:

اگر  باشد آنگاه  یا  را خواهیم داشت.

مثال 2-1-1 كمانی به اندازه  رادیان برابر چند درجه است؟

حل: اگر  و  باشد آنگاه

2- دایره مثلثاتی. در ملاحظه اندازه یك كمان چه بر حسب درجه و چه برحسب رادیان آگاهی از جهت مسیر كمان از نقطه مبدا A₁ به نقطه A₂ حائز اهمیت است. مسیر كمان از نقطه مبدأ به نقطه مقصد در جهت خلاف حركت عقربه‌های ساعت معمولاً مثبت در نظر گرفته می‌شود. در حالیكه در جهت حركت عقربه‌های ساعت منفی منظور می‌شود.

معمولاً انتهای سمت راست قطر افقی دایره مثلثاتی به عنوان نقطه مبدأ اختیار می‌شود. نقطه مبدأ دایره دارای مختصات (1,0) خواهد بود. آن را بصورت A=A(1,0) نشان می‌دهیم. همچنین نقاط D,C,B از این دایره را بترتیب با مختصات B=(0,1)، C=(-1,0)، D=(0,-1) داریم.

دایره مثلثاتی را با S نشان می‌دهیم. طبق آنچه كه ذكر شد چنین داریم:

 3- پیچش محور حقیقی به دور دایره مثلثاتی. در تئوری توابع مثلثاتی نگاشت  از R مجموعه اعداد حقیقی روی دایره مثلثاتی كه با شرایط زیر انجام می‌شود نقش اساسی را ایفا می‌كند:

(1)  عدد t=0 روی محور اعداد حقیقی با نقطه : A همراه می‌شود.

(2)  اگر  باشد آنگاه در دایره مثلثاتی نقطه  را به عنوان نقطه مبدا كمان AP₁ در نظر گرفته و بر محیط دایره مسیری به طول T را در جهت مثبت اختیار می‌كنیم، نقطه مقصد این مسیر را با P_t نشان داده و عدد t را با نقطه P_t روی دایره مثلثاتی همراه می‌كنیم. یا به عبارت دیگر نقطه P_t تصویر نقطه A=P₀ خواهد بود وقتی كه صفحه مختصاتی حول مبدا مختصاتی به اندازه t رادیان چرخانده شود.

(3)  اگر  باشد آنگاه با شروع از نقطه A بر محیط دایره در جهت منفی، مسیری به طول  را مشخص می‌كنیم. فرض كنید كه P_t نقطه مقصد این مسیر را نشان دهد و نقطه‌ای متناظر به عدد منفی t باشد.

همانطوریكه ملاحظه شد جوهره نگاشت : P این نكته را می‌رساند كه نیم‌محور مثبت اعداد حقیقی در جهت مثبت بر روی S می‌خوابد؛ در حالیكه نیم‌محور منفی اعداد حقیقی در جهت منفی بر روی S می‌خوابد. این نگاشت بك‌بیك نیست: اگر  به عدد  متناظر باشد یعنی اگر F=P باشد آنگاه این نقطه نیز به اعداد  متناظر خواهد بود:

در حقیقت با افزودن مسیری با طول  (در جهت مثبت و یا در جهت منفی) به مسیری به طول t مجدداً به نقطه F خواهیم رسید. نگاره وارون كامل P^-1(P_t) نقطه P_t با مجموعه  تطابق دارد.